reklama

Rozdiely druhých mocnín trojuholníkových čísel

V niekoľkých minulých príspevkoch som Vám popisoval viaceré myšlienky o trojuholníkových číslach. Dnes popíšem, čomu sa rovnajú rozdiely druhých mocnín trojuholníkových čísel.

Písmo: A- | A+
Diskusia  (2)

V ukážke sa jedná o posun trojuholníkových čísel v druhom a treťom stĺpci výpočtov. Prvý rad je tvorený postupnosťou všetkých prirodzených čísel.

1^3 + ^2 = 1^2

2^3 + 1^2 = 3^2

3^3 + 3^2 = 6^2

4^3 + 6^2 = 10^2

5^3 + 10^2 = 15^2

6^3 + 15^2 = 21^2

7^3 + 21^2 = 28^2

8^3 + 28^2 = 36^2, atď.

Z ukážky pre zábavu si vyjadríme rozdiel druhých mocnín dvoch po sebe nasledujúcich trojuholníkových čísel :

 1^2 - 0^2 = 1^3 

 3^2 - 1^2 = 2^3

 6^2 - 3^2 = 3^3

10^2 - 6^2 = 4^3

15^2 - 10^2 = 5^3

Zdalo by sa, že výsledky rozdielu druhých mocnín, každého druhého trojuholníkového čísla budú podobné, to znamená:

SkryťVypnúť reklamu
Článok pokračuje pod video reklamou

 3^2 - 0^2 = 3^3

 6^2 - 1^2 = 5^3

10^2 - 3^2 = 7^3

15^2 - 6^2 = 9^3

To však zjavne nie je pravda.

Pri rozdiele týchto dvoch druhých mocnín musíme rozdeliť naoko nezmyselný výsledok na súčet dvoch tretích mocnín :

 3^2 - 0^2 = 2^3 + 1^3

 6^2 - 1^2 = 3^3 + 2^3

10^2 - 3^2 = 4^3 + 3^3

15^2 - 6^2 = 5^3 + 4^3

21^2 - 10^2 = 6^3 + 5^3; atď

Podobne môžeme pokračovať ďalej.

Pri rozdiele druhých mocnín každého tretieho trojuholníkového čísla musíme výsledok rozložiť na súčet troch tretích mocnín idúcich za sebou :

Ukážka : 

 6^2 - 0^2 = 3^3 + 2^3 + 1^3

10^2 - 1^2 = 4^3 + 3^3 + 2^3

15^2 - 3^2 = 5^3 + 4^3 + 3^3

21^2 - 6^2 = 6^3 + 5^3 + 4^3; atď

SkryťVypnúť reklamu
reklama

V ďaľších výpočtoch sa dá pokračovať podobne.

Tieto výpočty sa totiž riadia podľa už popisovaného postupu výpočtu :

1^3+2^3=3^2

1^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2

1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10^2

1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 15^2

1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 21^2

1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = 28^2

Z toho vyplýva, že :

2^3 + 3^3 = 6^2 – 1^3 = 6^2 – 1^2

3^3 + 4^3 = 10^2 – ( 1^3 + 2^3 ) = 10^2 – 3 ^2

4^3 + 5^3 = 15^2 – ( 1^3 + 2^3 + 3^3 ) = 15^2 – 6 ^2

5^3 + 6^3 = 21^2 – ( 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3) = 21^2 – 10 ^2; atď

Miroslav Židek

Miroslav Židek

Bloger 
  • Počet článkov:  187
  •  | 
  • Páči sa:  5x

...bývam na Slovensku a mám záujem o všetko, čo nadchne ducha človeka Zoznam autorových rubrík:  SúkromnéNezaradené

Prémioví blogeri

Pavol Koprda

Pavol Koprda

10 článkov
Lucia Šicková

Lucia Šicková

4 články
Juraj Karpiš

Juraj Karpiš

1 článok
Juraj Hipš

Juraj Hipš

12 článkov
Adam Valček

Adam Valček

14 článkov
reklama
reklama
SkryťZatvoriť reklamu