Súčty tretích mocnín radu prirodzených čísel

Autor: Miroslav Židek | 31.8.2013 o 6:11 | (upravené 31.8.2013 o 20:10) Karma článku: 4,79 | Prečítané:  382x

Tak, ako som včera sľúbil, dnes si povieme niečo o tvorbe súčtov tretích mocnín. Pri tomto nám pomôžu znalosti zákonitostí zo včerajšieho článku o získavaní výsledkov druhých mocnín pomocou hodnôt určitého radu čísel. Rad čísel 1; 3; 6; 10; 15.....atď nie je však jediným, za pomoci ktorého vieme vypočítať výsledky druhých mocnín.

 

Na základe včera uvedených výpočtov, si vieme vytvoríť vzorec, podľa ktorého si ľahko vypočítame výsledok sčítania tretích mocnín :

{ / n + 1 / : 2 } . n = z

Výpočet :

Ak za hodnotu n dosadíme napríklad číslo sedem, výsledkom bude :


{ / 7 + 1 / : 2 } . 7 = z.........../ 8 : 2 / . 7 = z.............. 4 . 7 = 28

 

To znamená, že výsledok sčítavania tretích mocnín od do 7³ je rovný 28² .

Ak sa začneme bližšie zaoberať výsledkami násobenia dvoch za sebou idúcich čísel v rade postupnosti od 1; 2; 3; 4; 5 ........ a ďalej, zistíme, že tieto sú po vydelení dvoma zhodné s výsledkami sčítavania tretích mocnín čísel idúcich za sebou :

Ukážka :

1 . 2 = 2...........2 : 2 = 1..............2 = 1 . 1 + 1 = 2 . 2 - 2

2 . 3 = 6...........6 : 2 = 3..............6 = 2 . 2 + 2 = 3 . 3 - 3

3 . 4 = 12.......12 : 2 = 6...........12 = 3 . 3 + 3 = 4 . 4 - 4

4 . 5 = 20.......20 : 2 = 10.........20 = 4 . 4 + 4 = 5 . 5 - 5

5 . 6 = 30.......30 : 2 = 15.........30 = 5 . 5 + 5 = 6 . 6 - 6

6 . 7 = 42.......42 : 2 = 21.........42 = 6 . 6 + 6 = 7 . 7 - 7

7 . 8 = 56.......56 : 2 = 28.........56 = 7 . 7 + 7 = 8 . 8 - 8

8 . 9 = 72.......72 : 2 = 36.........72 = 8 . 8 + 8 = 9 . 9 - 9

9 . 10 = 90.......90 : 2 = 45.......90 = 9 . 9 + 9 = 10 . 10 - 10


Z tohto poznatku sme si odvodili nasledovný vzorec :

a³ + / a + 1 /³ = { / a + 1 / . / a + 2 / : 2 }²


Tento vzorec je platný iba pre prvú dvojicu základov umocnených na tretiu.


Ide tu hlavne o ukázanie princípu výpočtu súčtu základov, ktorých výsledok sa nakoniec umocní na druhú.


Výpočet :

1³ + 2³ = { 2 . 3 : 2 }² = 3² = 9

 

Jednoduchá ukážka ďaľších výpočtov :


1³ + 2³ + = { 2 . 6 : 2 }² = 6² = 36

1³ + 2³ + 3³ + = { 2 . 10 : 2 }² = 10² = 100 atď.



Výsledok nekonečného radu tretích mocnín je potom rovný :

a³ + / a + 1 /³ + / a + 2 /³ + / a + 3 /³ ...+ / a + n /³ = { a + / a + 1/ + / a + 2 / + ...../ a + n / }²

 


Nakoniec sme si odvodili už známy vzorec, ktorým sme už predtým urobili výpočet :

 

 

{ / n + 1 / : 2 } . n = z

 


Súvislosť s uvedenou postupnosťou majú i tieto výpočty :


Ak si za a dosadíme čísla, dostaneme jednoduchý výpočet súčtu tretích mocnín idúcich za sebou :


1³ + 2³ =

1³ + 2³ + 3³ =

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 10²

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 15²

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ = 21²

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ = 28²

 

Z toho vyplýva, že :

4³ + 5³ = 15² - / 1³ + 2³ + 3³ /

4³ + 5³ = 21² - / 1³ + 2³ + 3³+ 6³ / atď.

 

 

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

SVET

Keď už sa dostanete do štádia hladomoru, je príliš neskoro

OSN po šiestich rokoch znovu vyhlásila hladomor. Okrem Juhosudáncov môže byť v ohrození až dvadsať miliónov ľudí.

PLUS

Mnohí mlčia, on nie. Služba vlasti z neho spravila lovca ľudí

Tóth tvrdí, že si z vojenčiny priniesol domov traumu.

EKONOMIKA

Land Rover z Nitry budú rozvážať Nemci, Cargo neuspelo

Štátny prepravca rokuje s Deutsche Bahn Cargo.


Už ste čítali?