Súčty tretích mocnín radu prirodzených čísel

Autor: Miroslav Židek | 31.8.2013 o 6:11 | (upravené 31.8.2013 o 20:10) Karma článku: 4,79 | Prečítané:  402x

Tak, ako som včera sľúbil, dnes si povieme niečo o tvorbe súčtov tretích mocnín. Pri tomto nám pomôžu znalosti zákonitostí zo včerajšieho článku o získavaní výsledkov druhých mocnín pomocou hodnôt určitého radu čísel. Rad čísel 1; 3; 6; 10; 15.....atď nie je však jediným, za pomoci ktorého vieme vypočítať výsledky druhých mocnín.

 

Na základe včera uvedených výpočtov, si vieme vytvoríť vzorec, podľa ktorého si ľahko vypočítame výsledok sčítania tretích mocnín :

{ / n + 1 / : 2 } . n = z

Výpočet :

Ak za hodnotu n dosadíme napríklad číslo sedem, výsledkom bude :


{ / 7 + 1 / : 2 } . 7 = z.........../ 8 : 2 / . 7 = z.............. 4 . 7 = 28

 

To znamená, že výsledok sčítavania tretích mocnín od do 7³ je rovný 28² .

Ak sa začneme bližšie zaoberať výsledkami násobenia dvoch za sebou idúcich čísel v rade postupnosti od 1; 2; 3; 4; 5 ........ a ďalej, zistíme, že tieto sú po vydelení dvoma zhodné s výsledkami sčítavania tretích mocnín čísel idúcich za sebou :

Ukážka :

1 . 2 = 2...........2 : 2 = 1..............2 = 1 . 1 + 1 = 2 . 2 - 2

2 . 3 = 6...........6 : 2 = 3..............6 = 2 . 2 + 2 = 3 . 3 - 3

3 . 4 = 12.......12 : 2 = 6...........12 = 3 . 3 + 3 = 4 . 4 - 4

4 . 5 = 20.......20 : 2 = 10.........20 = 4 . 4 + 4 = 5 . 5 - 5

5 . 6 = 30.......30 : 2 = 15.........30 = 5 . 5 + 5 = 6 . 6 - 6

6 . 7 = 42.......42 : 2 = 21.........42 = 6 . 6 + 6 = 7 . 7 - 7

7 . 8 = 56.......56 : 2 = 28.........56 = 7 . 7 + 7 = 8 . 8 - 8

8 . 9 = 72.......72 : 2 = 36.........72 = 8 . 8 + 8 = 9 . 9 - 9

9 . 10 = 90.......90 : 2 = 45.......90 = 9 . 9 + 9 = 10 . 10 - 10


Z tohto poznatku sme si odvodili nasledovný vzorec :

a³ + / a + 1 /³ = { / a + 1 / . / a + 2 / : 2 }²


Tento vzorec je platný iba pre prvú dvojicu základov umocnených na tretiu.


Ide tu hlavne o ukázanie princípu výpočtu súčtu základov, ktorých výsledok sa nakoniec umocní na druhú.


Výpočet :

1³ + 2³ = { 2 . 3 : 2 }² = 3² = 9

 

Jednoduchá ukážka ďaľších výpočtov :


1³ + 2³ + = { 2 . 6 : 2 }² = 6² = 36

1³ + 2³ + 3³ + = { 2 . 10 : 2 }² = 10² = 100 atď.



Výsledok nekonečného radu tretích mocnín je potom rovný :

a³ + / a + 1 /³ + / a + 2 /³ + / a + 3 /³ ...+ / a + n /³ = { a + / a + 1/ + / a + 2 / + ...../ a + n / }²

 


Nakoniec sme si odvodili už známy vzorec, ktorým sme už predtým urobili výpočet :

 

 

{ / n + 1 / : 2 } . n = z

 


Súvislosť s uvedenou postupnosťou majú i tieto výpočty :


Ak si za a dosadíme čísla, dostaneme jednoduchý výpočet súčtu tretích mocnín idúcich za sebou :


1³ + 2³ =

1³ + 2³ + 3³ =

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 10²

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 15²

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ = 21²

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ = 28²

 

Z toho vyplýva, že :

4³ + 5³ = 15² - / 1³ + 2³ + 3³ /

4³ + 5³ = 21² - / 1³ + 2³ + 3³+ 6³ / atď.

 

 

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

EKONOMIKA

Protischránkový register má prvú obeť, vypovedali nájom bratislavskej stanice

Firma má v prenájme pozemky pred stanicou.

DOMOV

Ministra SNS kritizuje jeho tajomník z Mosta, problémom sú stíhačky

Modernizáciu slovenského letectva chce minister odložiť.

DOMOV

Pellegriniho úradníčka má blízko k IT firme spájanej s Počiatkom

Žiláková má mať vzťah so šéfom Anextu.


Už ste čítali?