Rozdiely druhých mocnín trojuholníkových čísel

Autor: Miroslav Židek | 19.12.2015 o 8:53 | (upravené 3.1.2016 o 7:35) Karma článku: 0,00 | Prečítané:  130x

V niekoľkých minulých príspevkoch som Vám popisoval viaceré myšlienky o trojuholníkových číslach. Dnes popíšem, čomu sa rovnajú rozdiely druhých mocnín trojuholníkových čísel.

 

V ukážke sa jedná o posun trojuholníkových čísel v druhom a treťom stĺpci výpočtov. Prvý rad je tvorený postupnosťou všetkých prirodzených čísel.

 

1^3 +   0^2 =   1^2

2^3 +   1^2 =   3^2

3^3 +   3^2 =   6^2

4^3 +   6^2 = 10^2

5^3 + 10^2 = 15^2

6^3 + 15^2 = 21^2

7^3 + 21^2 = 28^2

8^3 + 28^2 = 36^2, atď.

 

Z ukážky pre zábavu si vyjadríme rozdiel druhých mocnín dvoch po sebe nasledujúcich trojuholníkových čísel :

  1^2  - 0^2 = 1^3 

  3^2  -  1^2 = 2^3

  6^2  -  3^2 = 3^3

10^2  -  6^2 = 4^3

15^2  - 10^2 = 5^3

 

Zdalo by sa, že výsledky rozdielu druhých mocnín, každého druhého trojuholníkového čísla budú podobné, to znamená:

  3^2  -  0^2 = 3^3

  6^2  -  1^2 = 5^3

10^2  -  3^2 = 7^3

15^2  -  6^2 = 9^3

To však zjavne nie je pravda.

 

Pri rozdiele týchto dvoch druhých mocnín musíme rozdeliť naoko nezmyselný výsledok na súčet dvoch tretích mocnín :

  3^2  -  0^2 = 2^3 + 1^3

  6^2  -  1^2 = 3^3 + 2^3

10^2  -  3^2 = 4^3 + 3^3

15^2  -  6^2 = 5^3 + 4^3

21^2  - 10^2 = 6^3 + 5^3; atď

 

Podobne môžeme pokračovať ďalej.

Pri rozdiele druhých mocnín každého tretieho trojuholníkového čísla musíme výsledok rozložiť na súčet troch tretích mocnín idúcich za sebou :

Ukážka : 

  6^2  -  0^2 = 3^3 + 2^3 + 1^3

10^2  -  1^2 = 4^3 + 3^3 + 2^3

15^2  -  3^2 = 5^3 + 4^3 + 3^3

21^2  -  6^2 = 6^3 + 5^3 + 4^3; atď

V ďaľších výpočtoch sa dá pokračovať podobne.

 

Tieto výpočty sa totiž riadia podľa už popisovaného postupu výpočtu :

1^3+2^3=3^2

1^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2

1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10^2

1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 15^2

1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 21^2

1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = 28^2

 

Z toho vyplýva, že :

2^3 + 3^3 =   6^2 –   1^3 =   6^2 –  1^2

3^3 + 4^3 = 10^2 – ( 1^3 + 2^3 ) = 10^2 – 3 ^2

4^3 + 5^3 = 15^2 – ( 1^3 + 2^3 + 3^3 ) = 15^2 – 6 ^2

5^3 + 6^3 = 21^2 – ( 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3) = 21^2 – 10 ^2; atď

 

 

 

 

 

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

EKONOMIKA

U. S. Steel odchádza, o košickú fabriku bojujú Třinecké železárny

U. S. Steel predáva košické železiarne, ponuku predložili Číňania a skupina slovenských miliardárov.

KOMENTÁRE

Ako o tridsať rokov rozvrátim našu spoločnosť

Moderné demokracie sa premenia na vlády starých.

SVET

Dôsledky talianskeho referenda pocíti celá Únia

Neúspešné talianske referendum vystrašilo trhy.


Už ste čítali?