Výsledok súčtu tretích mocnín dvoch po sebe idúcich čísel

Autor: Miroslav Židek | 3.9.2013 o 6:19 | (upravené 3.9.2013 o 9:52) Karma článku: 0,00 | Prečítané:  226x

Akým spôsobom zistíme vzorce na výpočet výsledku dvoch po sebe idúcich tretích mocnín ? Musíme si najprv vytvoriť tabuľku na základe, ktorej začneme hľadať súvislosti medzi jednotlivými mocninami toho istého číselného základu. Zo zistených zákonitostí si následne vieme odvodiť vzorec na výpočet požadovaných výsledkov.

 

Tabuľku si vytvoríme nasledovne :

Vedľa seba si do stĺpcov napíšeme rady prirodzených čísel od 1; 2; 3; 4; 5; 6 .... atď.

Prvý stĺpec čísel označíme exponentom 2, druhý exponentom 3, tretí exponentom 4 atď. Súčet dvoch po sebe idúcich mocnín označíme čevenou farbou.

Následne môžeme začať hľadať súvislosti medzi jenotlivými výsledkami zapísanými v rade, alebo pod sebou.

 

 

...........12..............13.............14

...5................. 9............ 17

...........22..............23.............24

.13.............. 35............ 97

...........32..............33.............34

.25.............. 91.......... 337

...........42..............43.............44

.41........... 189.......... 881

...........52..............53.............54

.61........... 341

...........62..............63

.85........... 559

...........72

113

...........82

145

...........92

 

Z takto pripravených podkladov začneme hľadať zákonitosti pre stanovenie vzorca pre výpočet súčtu dvoch po sebe idúcich mocnín.

 

Ukážka :


22 + 12 = 5

5 . 2 – 1 = 9

9 . 2 – 1 = 17

17 . 2 – 1 33

33 . 2 – 1 = 65 atď.


32 + 22 = 13

13 . 3 – 4 = 35

35 . 3 – 8 97

97 . 3 – 16 = 275 atď.


42 + 32 = 25

25 . 4 – 9 = 91

91 . 4 – 27 = 337 atď.


52 + 42 = 41

41 . 5 – 16 =189

189 . 5 – 64 = 881 atď.

 

Vidíme, že medzi jednotlivými výsledkami existujú určité súvislosti, ktoré si vieme ďalej zapísať vzorcom.


32 + 22 = 13

13 . 3 – 4 = 35


42 + 32 = 25

25 . 4 – 9 = 91


52 + 42 = 41

41 . 5 – 16 = 189

 

 

Zaujímavosťou pri spôsobe výpočtu výsledku dvoch po sebe idúcich čísel tretích mocnín je to, že používame každú druhú hodnotu čísla z radu čísel 1; 3; 6; 10; 15; 21. Výsledok rozdielu ich druhých mocnín sa rovná súčtu po sebe nasledujúcich základov dvoch tretích mocnín.


 

Ukážka :


23 + 33 = 62 - 12 = 35 = 2 . 3 . 5 + 5

 

33 + 43 = / 1 + 2 + 3 +4 /2 - / 1 + 2 /2 = 102 - 32 =

= 102 - { 10 - / 3 + 4 /}2 = 91 = 3 . 4 . 7 + 7


43 + 53 = 152 - 62 = 189 = 4 . 5 . 9 + 9

53 + 63 = 212 - 102 = 341 = 5 . 6 . 11 + 11

63 + 73 = 282 - 152 = 559 = 6 . 7 . 13 + 13

 

Ukážka tohto postupu výpočtu je uvedená pri súčte 33 + 43

 

Na základe použitých výpočtov si dokážeme vytvoriť univerzálny vzorec.

 


Univerzálny vzorec :


a3 + / a + 1 /3 = a . / a + 1/ . / a + a + 1 / + / a + a + 1 /

a3 + / a + 1 /3 = a . / a + 1/ . / 2 . a + 1 / + / 2 . a + 1 /

 

Ak si výsledky súčtu dvoch po sebe idúcich tretích mocnín rozložíme na súčin dvoch čísel, dostaneme nasledovné hodnoty :

Prvý činiteľ dvojice násobenia tvorí súčet dvoch základov tretích mocnín a druhý činiteľ je násobkom základov oboch čísel tretej mocniny + 1 :

 

+ 2³ = 9 = 3 . 3

+ 3³ = 35 = 5 . 7

+ 4³ = 91 = 7 . 13

+ 5³ =189 = 9 . 21

+ 6³ = 341 = 11 . 31

+ 7³ = 559 = 13 . 43

+ 8³ = 855 = 15 . 57

+ 9³ =1 241=17 . 73

+ 10³ =1 729 =19 . 91

10³ +11³=2 331 =21 . 111

11³ +12³ = 3 059 = 23 . 133


Vzorec : n³ + / n + 1 /³ = { n + / n+1 / } . { n . / n + 1 / + 1 }


Výpočet :

+ 6³ = / 5 + 6 / . / 5 . 6 + 1 / = 11 . 31 = 341

+ 9³ = / 8 + 9 / . / 8 . 9 + 1 / = 17 . 73 = 1 241

11³ + 12³ = / 11 + 12 / . / 11 . 12 + 1 / = 23 . 133 = 3 059



 

 

 


 

 

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

EKONOMIKA

Štátne mapy zhltli ďalšie státisíce, nevedno za čo

Ministerstvo dopravy si dalo za státisíce eur vypracovať analýzu, no zatiaľ ju nezverejnilo.

TECH

Prečo vznikla menopauza? Babičky sa delili o jedlo s celou rodinou

Ak má kosatka mláďatá vo vyššom veku, je možné že neprežijú.

TECH

Ako sa pravdou stalo najviac páčikov na internete

Falošné správy a moderná propaganda pomohli stvoriť populistov.


Už ste čítali?