Druhá mocnina prvočísel
Každé prvočíslo umocnené na druhú, ponížené o číslicu 1 a vydelené šiestimi, udáva v tabuľke hodnotu, ktorou si vieme vypočítať nasledujúce prvočísla po hodnotu výsledku druhej mocniny v danom riadku.
Už sme spomínali, že ak poznáme prvočíslo sedem, vieme si z tabuľky odvodiť prvočísla do hodnoty 7 . 7 = 49.
Ak poznáme prvočíslo jedenásť, vieme si z tabuľky odvodiť prvočísla do hodnoty 11 . 11 = 121 .
Ak poznáme prvočíslo 317, vieme si z tabuľky odvodiť prvočísla do hodnoty 317 . 317 = 100 489 atď.
Spôsob získavania potrebnej hodnoty z tabuľky
Sú dve možnosti výpočtu požadovaných hodnôt :
Prvou je postup podľa vzorcov / 6 .x – 1 /. x – x a / 6 . x + 1 / . x + x
Pri hodnote prvočísla pod číslicou 6 a násobkami číslice 6, to znamená pri hodnote 5, 11, 17, 23 sa od takýchto hodnôt prvočísel jednotka, alebo hodnota násobku x odpočítava.
Pri hodnote prvočísla nad číslicou 6 a násobkami číslice 6, to znamená pri hodnote 7, 13, 19, 31 sa od takýchto hodnôt prvočísel jednotka, alebo hodnota násobku x pripočítava.
Vzor :
/ 6 . 1 – 1 / . 1 – 1 = 5 . 1 – 1 = 4
/ 6 . 1 + 1 / . 1 + 1 = 7 . 1 + 1 = 8
/ 6 . 2 – 1 / . 2 – 2 = 11 . 2 – 2 = 20
/ 6 . 2 + 1 / . 2 + 2 = 13 . 2 + 2 = 28
/ 6 . 3 – 1 / . 3 – 3 = 17 . 3 – 3 = 48
/ 6 . 3 + 1 / . 3 + 3 = 19 . 3 + 3 = 60
Vypočítané hodnoty pri potrebe nahliadnutia do tabuľky sa potom ako všetky ostatné hodnoty
násobia šiestimi :
4 . 6 = 24 = 52 - 1
8 . 6 = 48 = 72 - 1
20 . 6 = 120 = 112 - 1
28 . 6 = 168 = 132 - 1 - tento výsledok vyjadruje počet prvočísel do tisíc
48 . 6 = 288 = 172 - 1
60 . 6 = 360 = 192 - 1
atď.
Táto ukážka bola druhou možnosťou výpočtu medzných hodnôt p2, ktorými vieme výpočtom určovať ďaľšie a ďaľšie hodnoty pre získavanie nových prvočísel.
Vyjadrené vzorcom :
/ 6 .x + 1 /. x + x = p . x + x = / p2 – 1 / : 6 = m
m – modrá hodnota v tabuľke pre výpočet prvočísel
Násobky dvoch prvočísel a násobky hodnôt v im prislúchajúcom riadku
Ak sa bližšie pozrieme na vpísané hodnoty v tabuľke zistíme, že vynásobením prvočísel na začiatku predmetných riadkov, následným odčítaním číslice 1 tak, ako pri zisťovaní prvočísel z obidvoch modrých a červených prvočíselných hodnôt v tabuľke a vydelením výsledku šiestimi, dostaneme modrú hodnotu z tabuľky, ktorá sa nachádza v príslušných riadkoch.
Modré číslo 9 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 11 {/ 5 . 11 / - 1 } : 6 = 9
Modré číslo 14 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 17 {/ 5 . 17 / - 1 } : 6 = 14
Modré číslo 15 sa náchadza v riadku prvočísla 7 a prvočísla 13 {/ 7 . 13 / - 1 } : 6 = 15
Modré číslo 19 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 23 {/ 5 . 23 / - 1 } : 6 = 19
Modré číslo 22 sa náchadza v riadku prvočísla 7 a prvočísla 19 {/ 7 . 19 / - 1 } : 6 = 22
Modré číslo 24 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 29 {/ 5 . 29 / - 1 } : 6 = 24
Modré číslo 29 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 7 {/ 5 . 7 . 5 / - 1 }: 6 = 29
Modré číslo 31 sa náchadza v riadku prvočísla 11 a prvočísla 17 {/ 11 . 17 / - 1 }: 6 = 31
Modré číslo 34 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 41 {/ 5 . 41 / - 1 } : 6 = 34
Modré číslo 36 sa náchadza v riadku prvočísla 7 a prvočísla 31 {/ 7 . 31 / - 1 } : 6 = 36
Modré číslo 39 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 47 {/ 5 . 17 / - 1 } : 6 = 39
Modré číslo 41 sa náchadza v riadku prvočísla 13 a prvočísla 19 {/13 . 19 / - 1 } : 6 = 41
Modré číslo 42 sa náchadza v riadku prvočísla 11 a prvočísla 23 {/11 . 23 / - 1 } : 6 = 42
Modré číslo 43 sa náchadza v riadku prvočísla 7 a prvočísla 37 {/ 7 . 37 / - 1 } : 6 = 43
Modré číslo 44 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 53 {/ 5 . 53 / - 1 } : 6 = 44
Modré číslo 49 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 59 {/ 5 . 59 / - 1 } : 6 = 49
Modré číslo 50 sa náchadza v riadku prvočísla 7 a prvočísla 43 {/ 7 . 43 / - 1 } : 6 = 50
Modré číslo 53 sa náchadza v riadku prvočísla 11 a prvočísla 29 {/11 . 29 / - 1 } : 6 = 53
Modré číslo 54 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 13 {/5 . 13 . 5 /- 1 }: 6 = 54
Podobne je tomu tak i pri červených číslach. Vynásobime dve prvočísla, jedno modrej a druhé červenej farby, ktoré sú napísané na začiatku predmetného riadku, pripočítame číslicu 1 tak, ako pri zisťovaní prvočísel z obidvoch modrých, či červených hodnôt v tabuľke a výsledok vydelíme šiestimi. Dostaneme červenú hodnotu z tabuľky, ktorá sa nachádza v príslušných riadkoch.
Červené číslo 6 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 7 {/ 5 . 7 / + 1 } : 6 = 6
Červené číslo 11 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 13 {/ 5 . 13 / + 1 } : 6 = 11
Červené číslo 13 sa náchadza v riadku prvočísla 7 a prvočísla 11 {/ 7 . 11 / + 1 } : 6 = 13
Červené číslo 16 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 19 {/ 5 . 19 / + 1 } : 6 = 16
Červené číslo 20 sa náchadza v riadku prvočísla 7 a prvočísla 17 {/ 7 . 17 / + 1 } : 6 = 20
Červené číslo 24 sa náchadza v riadku prvočísla 11 a prvočísla 13{/11. 13 / + 1 }: 6 = 24
Červené číslo 26 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 31 {/ 5 . 31 / + 1 }: 6 = 26
Červené číslo 27 sa náchadza v riadku prvočísla 7 a prvočísla 23 {/ 7 . 23 / + 1 } : 6 = 27
Červené číslo 31 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 37 {/ 5 . 37 / + 1 } : 6 = 31
Červené číslo 34 sa náchadza v riadku prvočísla 7 a prvočísla 29 {/ 7 . 29 / + 1 } : 6 = 34
Červené číslo 35 sa náchadza v riadku prvočísla 11 a prvočísla 19 {/11 . 19 / + 1}: 6 = 35
Červené číslo 36 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 43 {/ 5 . 43 / + 1 } : 6 = 36
Červené číslo 37 sa náchadza v riadku prvočísla 13 a prvočísla 17 {/13 . 17/ + 1}: 6 = 37
Červené číslo 41 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 7 {/ 5 . 7 . 7/ + 1} :6 = 41
Červené číslo 46 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 11{/ 5 .11 . 5 / + 1}:6 = 46
Červené číslo 48 sa náchadza v riadku prvočísla 7 a prvočísla 41 {/ 7 . 41 / + 1 } :6 = 48
Červené číslo 50 sa náchadza v riadku prvočísla 13 a prvočísla 23{/ 13 . 23/ + 1 }: 6 = 50
Červené číslo 51 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 61 {/ 5 . 61 / + 1 } : 6 = 51
Červené číslo 54 sa náchadza v riadku prvočísla 17 a prvočísla 19{/ 17 . 19/ + 1 }: 6 = 54
Červené číslo 55 sa náchadza v riadku prvočísla 7 a prvočísla 47 {/7 . 47 / + 1 } : 6 = 55
Červené číslo 56 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 67 {/5 . 67 / + 1 } : 6 = 56
Z násobkov dvoch prvočísel a násobkov hodnôt z tabuľky šiestimi sme zistili nasledovnú
závislosť :
Ak medzi sebou násobíme dve modré prvočísla, alebo dve červené prvočísla, výsledok vypočítanej hodnoty v tabuľke je modré číslo :
m . m = m č . č = m
Ak medzi sebou násobíme modré a červené prvočíslo, alebo naopak, výsledok vypočítanej hodnoty v tabuľke je červené číslo :
m . č = č
Za dané písmená si môžeme dosadiť číslicu – 1, pri výpočte prvočísla z modrej hodnoty, a + 1, pri výpočte prvočísla z červenej hodnoty.
Dostaneme zaujímavé výsledky násobenia - / znamienka /
- 1 . - 1 = - 1.................+ 1 . + 1 = - 1
- 1 . + 1 = + 1
Aj tu však nájdeme nejaké výnimky .
Pri modrých hodnotách sú to :
Modré číslo 29 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 7 {/ 5 . 7 . 5 / - 1 }: 6 = 29
Modré číslo 54 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 13 {/5 . 13 . 5 /- 1 }: 6 = 54
m . č . m = m
- 1 . + 1 . – 1 = - 1
Pri červených hodnotách sú to :
Červené číslo 41 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 7 {/ 5 . 7 . 7/ + 1} :6 = 41
Červené číslo 46 sa náchadza v riadku prvočísla 5 a prvočísla 11{/ 5 .11 . 5 / + 1}:6 = 46
m . č . č = č ............................ m . m . m = č
- 1 . + 1 . + 1 = + 1................- 1 . – 1 . – 1 = + 1
Rast počtu prvočíselných dvojíc podľa popisu z článku o nekonečnom počte prvočíslených dvojíc
Všetky hodnoty sú 6 krát menšie
stred prv.dvojíc dvojnásob počet pr.dvojíc 1 2 1 2 4 1 3 6 1 5 10 2 7 14 2 10 20 3 12 24 3 17 34 6 18 36 5 23 46 7 25 50 7 30 60 8 32 64 7 33 66 6 38 76 7 40 80 7 45 90 7 47 94 6 52 104 8 58 116 9 70 140 11 72 144 11 77 154 11 87 174 12 95 190 14 100 200 14 103 206 14 107 214 14 110 220 16 135 270 21 137 274 20 138 276 19 143 286 20 147 294 20 170 340 25