V súvislosti s mocninami ma napadol systém výpočtu výsledkov druhých mocnín pomocou čísla o hodnotu jedna / 1 / menšej, ako je druhá odmocnina z výsledku sčítania všetkých štyroch základných výpočtov – odčítania, sčítania, násobenia a delenia.
Odčítaním sa nemusíme zaoberať, lebo pri odčítaní je výsledok vždy 0.
Preto si ukážeme iba sčítanie, násobenie a delenie.
Príklad :
0 + 0 = 0........1 + 1 = 2........2 + 2 = 4........3 +3 = 6........4 + 4 = 8........5 + 5 = 10
0 . 0 = 0........1 . 1 =1.........2 . 2 = 4........3 . 3 = 9........4 . 4 = 16......5 . 5 = 25
0 : 0 = 1........1 : 1 = 1.........2 : 2 = 1........3 : 3 = 1........4 : 4 = 1.........5 : 5 = 1
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-------------------
SÚČET:1...................4.....................9..................16....................25...................36
Ukážka, ako sa správajú výsledky základných matematických úkonov pri hodnotách čísel so znamienkom mínus :
- 1 + - 1 = - 2.......- 2 + - 2 = - 4....- 3 + - 3 = - 6.....- 4 + - 4 = - 8......- 5 + - 5 = - 10
- 1 . - 1 = +1.......- 2 . - 2 = +4.....- 3 . - 3 = + 9.....- 4 . - 4 = 16......- 5 . - 5 = + 25
- 1 : - 1 = +1.......- 2 : - 2 = +1....- 3 : - 3 = + 1.....- 4 : - 4 = +1......- 5 : - 5 = + 1
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––------------------
SÚČET :...............................1.........................4........................9.........................16
Súčtom operácií sme prišli k záveru, že na výpočet druhej mocniny nejakého čísla nám postačí číslo o jednu nižšie, ako je druhá odmocnina výsledku vypočítaného základnými matematickými operáciami.
Príklad :
√4 = 2 2 – 1 = 1, z toho vyplýva, že pomocou čísla 1 vieme vypočítať výsledok druhej mocniny čísla 2.
√9 = 3 3 – 1 = 2, z toho vyplýva, že pomocou čísla 2 vieme vypočítať výsledok druhej mocniny čísla 3.
√16 = 4 4 – 1 = 3, z toho vyplýva, že pomocou čísla 3 vieme vypočítať výsledok druhej mocniny čísla 4.
√25 = 5 5 – 1 = 4, z toho vyplýva, že pomocou čísla 4 vieme vypočítať výsledok druhej mocniny čísla 5.
Ak sa bližšie pozrieme na hodnoty výsledkov súčtov jednotlivých operácií v mínusových
a plusových hodnotách, dostaneme nasledovné údaje :
Hodnota mínus :........- 1.............- 2..............- 3..............- 4...............- 5
Výsledok :...................................1.................4.................9...............16
Druhá mocn. hodnoty :1...............4.................9...............16...............25
Výsledok :....................4...............9...............16...............25..............36
Hodnota plus :......... ....1................2.................3.................4................5
Vo výpočtoch vedúcich k výsledkom sa pri operácii násobenia v danom stĺpci nachádza
aj výsledok druhej mocniny násobku činiteľa z počítanej hodnoty.
To znamená, že pri : hodnote 2, alebo – 2 je hodnota výsledku 4
..................................hodnote 3, alebo – 3 je hodnota výsledku 9
Ak si z každého stĺpca vyberieme na ďalší výskum iba operáciu sčítania + operáciu delenia, súčtom dostaneme nasledovné hodnoty :
Ukážka :
0 + 0 = 0........1 + 1 = 2.........2 + 2 = 4........3 + 3 = 6........4 + 4 = 8
0 : 0 = 1........1 : 1 = 1..........2 : 2 = 1........3 : 3 = 1.........4 : 4 = 1
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––------------------
SÚČET :1...............3.....................5....................7....................9........
Súčtom sčítania a delenia základu danej hodnoty získame výsledky po sebe idúcich nepárnych čísel .
Dostali sme výsledky, ktoré tvoria rozdiely medzi výsledkami po sebe idúcich druhých mocnín.
Výsledky tvoria jednoduchú postupnosť, ktorá obsahuje všetky nepárne čísla idúce za sebou.To znamená, že v rade sa nachádzajú všetky prvočísla, ale aj zložené čísla.
Rozdiel medzi číslami idúcimi za sebou je rovný vždy dvom.
/ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.......... atď. /
Pre získavanie hodnôt tohto radu, preto platí vzorec 2 . n + 1 .
Čísla, ktoré sú členmi postupnosti vyjadrujú vlastne rozdiel medzi / n + 1 /² a n² .
Príklad :
22 - 12 = 4 – 1 = 3................./ n + 1 /2 - n2 = 2 . n + 1 = 2 . 1 + 1 = 3
32 - 22 = 9 – 4 = 5...........................................2 . n + 1 = 2 . 2 + 1 = 5
42 - 32 = 16 – 9 = 7.........................................2 . n + 1 = 2 . 3 + 1 = 7
52 - 42 = 25 – 16 = 9......................... .............2 . n + 1 = 2 . 4 + 1 = 9
Súčtom prvých dvoch, po sebe idúcich nepárnych čísel dostaneme hodnotu druhej mocniny čísla 2.
K tomuto výsledku pripočítame ďaľšie nepárne číslo, dostaneme hodnotu druhej mocniny čísla 3.
Ak k tomuto výsledku pripočítame ďaľšie nepárne číslo, dostaneme hodnotu druhej mocniny čísla 4.
Ukážka :....1 + 3 = 4.......4+5 = 9........9 +7 = 16.........16 + 9 = 25...........25 + 11 = 36
Ak od týchto nepárnych čísel odpočítame im prislúchajúce základy, dostaneme rad všetkých prirodzených čísel N od 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ...... a ďalej.
Ukážka :1 - 0 = 1........3 - 1 = 2........5 - 2 = 3.......7 - 3 = 4......9 - 4 = 5
Ak si z každého stĺpca vyberieme na ďalší výskum iba operáciu sčítania + operáciu násobenia, súčtom dostaneme nasledovné hodnoty :
- 1 + - 1 = - 2......- 2 + - 2 = - 4.....- 3 + - 3 = - 6.......- 4 + - 4 = - 8......- 5 + - 5 = - 10
- 1 . - 1 = +1......- 2 . - 2 = +4.....- 3 . - 3 = +9.......- 4 . - 4 = 16......- 5 . - 5 = +25
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––------------------
SÚČET :.....-1.................................................3......................... 8.........................15
Pokračovanie v pluse :
0 + 0 = 0......1 + 1 = 2.........2 + 2 = 4........3 + 3 = 6.......4 + 4 = 8.....5 +5 = 10
0 . 0 = 0.......1 . 1 = 1..........2 . 2 = 4.........3 . 3 = 9.......4 . 4 = 16.....5 . 5 = 25
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––---------------------
SÚČET :.............3.....................8..................15....................24...............35
Rozdiel medzi číslami idúcimi za sebou je vždy nasledujúce nepárne číslo postupnosti všetkých nepárnych čísel.